Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在其零點(diǎn)處的切線方程；

（2）若方程有兩個實(shí)數(shù)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）零點(diǎn)為；；；（2）見解析.

【解析】

（1）由題意可得函數(shù)的零點(diǎn)為，，求導(dǎo)后，求出，，再求出，利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)證明、，設(shè)，由函數(shù)單調(diào)性可知、，利用即可得證.

（1）由，得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，，

因?yàn)?/span>，所以，.

又因?yàn)?/span>，

所以曲線在處的切線方程為，

在處的切線方程為；

（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義為，，

令，則，所以即單調(diào)遞減，

由，，

所以存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

不妨設(shè)，且，，

令，，

記，則，

令，則，

所以單調(diào)遞增，且，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，即；

記，則，

所以單調(diào)遞增，且，故在單減，在單增.

則，即；

不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，且為增函數(shù)，所以.

由，得；

同理，；

所以.

所以，

所以.