Question

19．己知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）△ABC中，若AB=$\sqrt{7}$，f（C）=1，sinB=3sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件利用f（C）=1求得sinC的值，可得C=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理求得b=3a、再利用余弦定理求得a的值，可得b的值，從而求得△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$ab•sinC 的值．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-2•$\frac{1+cos2x}{2}$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）△ABC中，若AB=c=$\sqrt{7}$，∵f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=1，∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵sinB=3sinA，∴b=3a，由余弦定理可得 7=a²+（3a）²-2a•3a•cos$\frac{π}{3}$=7a²，
求得a=1，∴b=3，∴△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$•1•3•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．