Question

4．已知直線l經(jīng)過直線x+2y-5=0與2x-y=0的交點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P（2，0）到直線l的距離為1，求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)A（-2，3），B（-4，5）到直線l的距離相等，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)解兩條已知直線，得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．然后按直線l是否與x軸垂直加以討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算，可得符合題意的直線l方程；
（2）當(dāng)AB∥L時(shí)，利用點(diǎn)斜式即可得出直線L的方程；當(dāng)AB的中點(diǎn)（4，-1）在直線L時(shí)，利用點(diǎn)斜式即可得出直線L的方程．

解答 解：（1）直線x+2y-5=0與2x-y=0聯(lián)解，得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，方程 x=1，滿足點(diǎn)P（2，0）到l的距離為1；
②當(dāng)直線l與不x軸垂直時(shí)，設(shè)方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵點(diǎn)P（2，0）到l的距離為1，
∴$\frac{|2k+2-k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，解之得k=-$\frac{3}{4}$，
此時(shí)直線l的方程為y-2=-$\frac{3}{4}$（x-1），
化簡得：3x+4y-11=0，
綜上所述，直線l的方程為 x=1或3x+4y-11=0；
（2）當(dāng)AB∥L時(shí)，直線L的方程為：y-2=$\frac{5-3}{-4-（-2）}$（x-1），化為x+y-3=0．
當(dāng)AB的中點(diǎn)（-3，4）在直線L時(shí)，
直線L的方程為：y-2=$\frac{2-4}{1-（-3）}$（x-1），化為x+2y-5=0．
綜上可得直線L的方程為：x+y-3=0，或x+2y-5=0．

點(diǎn)評 本題求經(jīng)過定點(diǎn)且與點(diǎn)A的距離為3的直線方程，著重考查了直線的交點(diǎn)求法、點(diǎn)到直線的距離公式和直線的方程等知識，屬于中檔題．