9.設(shè)函數(shù)f(x)=|1-2x|-3|x+1|,f(x)的最大值為M,正數(shù)a,b滿足$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{^{3}}$=Mab.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得a6+b6=$\sqrt{ab}$?并說明理由.

分析 (1)直接采用零點(diǎn)分段法確定函數(shù)的最值;
(2)先假設(shè)存在,再兩次運(yùn)用基本不等式得出${a}^{\frac{5}{2}}•^{\frac{5}{2}}$≤$\frac{1}{2}$和${a}^{\frac{5}{2}}•^{\frac{5}{2}}$≥$\frac{2}{3}$相互矛盾,所以假設(shè)不成立.

解答 解:(1)分三類討論如下:
①當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=x+4,單調(diào)遞增,f(x)<3;
②當(dāng)-1≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)=-5x-2,單調(diào)遞減,f(x)max=f(-1)=3,
③當(dāng)x>$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)=-x-4,單調(diào)遞減,f(x)<f($\frac{1}{2}$)=-$\frac{9}{2}$,
綜合以上討論得,f(x)的最大值M=3;
(2)假設(shè)存在正數(shù)a,b,使得a6+b6=$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{a^6b^6}$=2a3b3,
所以,${a}^{\frac{5}{2}}•^{\frac{5}{2}}$≤$\frac{1}{2}$,------------①
又因?yàn)?\frac{1}{a^3}$+$\frac{1}{b^3}$=Mab=3ab≥2•$\frac{1}{\sqrt{a^3b^3}}$,
所以,${a}^{\frac{5}{2}}•^{\frac{5}{2}}$≥$\frac{2}{3}$,-----------②
顯然①②相互矛盾,
所以,假設(shè)不成立,即不存在a,b使得a6+b6=$\sqrt{ab}$.

點(diǎn)評 本題主要考查了分段函數(shù)最值的確定,以及基本不等式在解題中的應(yīng)用,運(yùn)用了零點(diǎn)分段法和反證法,屬于中檔題.

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