Question

14．一座圓形拱橋，當水面在如圖所示位置時，拱橋離水面2米，水面寬12米，當水面下降1米后水面寬為2$\sqrt{51}$米．

Answer 1

分析 先根據(jù)題目條件建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，得到各點的坐標，通過設圓的半徑，可得圓的方程，然后將點的坐標代入確定圓的方程，設當水面下降1米后可設A′的坐標為（x₀，-3）（x₀＞0）根據(jù)點在圓上，可求得x₀的值，從而得到問題的結果．

解答 解：以圓拱拱頂為坐標原點，以過拱頂頂點的豎直直線為y軸，建立直角坐標系，
設圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知可得：A（6，-2），
設圓的半徑為r，則C（0，-r），即圓的方程為x²+（y+r）²=r²，
將A的坐標代入圓的方程可得r=10，
所以圓的方程是：x²+（y+10）²=100
則當水面下降1米后可設A′的坐標為（x₀，-3）（x₀＞0）
代入圓的方程可得x₀=$\sqrt{51}$，
所以當水面下降1米后，水面寬為2$\sqrt{51}$米．
故答案為：2$\sqrt{51}$．

點評 本題考查了圓的方程的綜合應用，以及點在圓上的條件的轉化，圓的對稱性的體現(xiàn)，是個基礎題．