Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow$=（cosωx，-$\sqrt{3}$cosωx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$，若直線x=$\frac{π}{3}$是y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．
（1）求正數(shù)ω的最小值；
（2）當(dāng)正數(shù)ω取最小值時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），由三角函數(shù)的對(duì)稱性易得正數(shù)ω取最小值；
（2）可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），解不等式2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π可得單調(diào)遞減區(qū)間，同理可得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可得f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$
=cos²ωx-$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵直線x=$\frac{π}{3}$是y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴2ω•$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴ω=$\frac{3}{2}$k-$\frac{1}{2}$，k∈Z，
∴當(dāng)k=1時(shí)，正數(shù)ω取最小值1；
（2）當(dāng)正數(shù)ω取最小值1時(shí)，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值和單調(diào)性，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．