Question

12．已知關于x的不等式x²-2x+2＜2ax+1（a∈R）．
（1）若此不等式的解集為（b，2），求a+b的值；
（2）若a≥-2，求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）不等式即為x²-（2+2a）x+1＜0，由此不等式的解集為（b，2），即有b，2是方程x²-（2+2a）x+1=0的兩根，
再由韋達定理，解方程即可得到；
（2）求出方程的判別式，對a討論，a=0，a＞0，-2≤a＜0，結合圖象和二次不等式的解法，即可得到解集．

解答 解：（1）不等式即為x²-（2+2a）x+1＜0，
由此不等式的解集為（b，2），即有b，2是方程x²-（2+2a）x+1=0的兩根，
則有b+2=2+2a，2b=1，
解得a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，
則a+b=$\frac{3}{4}$；
（2）不等式即為x²-（2+2a）x+1＜0，
判別式為△=（2+2a）²-4=4a（a+2），
若a=0，則△=0，即為x²-2x+1＜0，即有（x-1）²＜0，解集為∅；
若-2≤a＜0，則△＜0，解集為∅；
若a＞0，則△＞0，x²-（2+2a）x+1=0的兩根為x=1+a±$\sqrt{a（a+2）}$，
不等式的解集為（1+a-$\sqrt{a（a+2）}$，1+a+$\sqrt{a（a+2）}$）．
綜上可得，當-2≤a≤0時，解集為∅；
當a＞0時，解集為（1+a-$\sqrt{a（a+2）}$，1+a+$\sqrt{a（a+2）}$）．

點評 本題考查不等式的解法和運用，注意方程和不等式的關系，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．