Question

18．某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)P_k（x_k，y_k）處，其中x₁=1，y₁=1，當(dāng)k≥2時，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{k}={x}_{k-1}+1-5[T（\frac{k-1}{5}）-T（\frac{k-2}{5}）]}\\{{y}_{k}={y}_{k-1}+T（\frac{k-1}{5}）-T（\frac{k-2}{5}）}\end{array}\right.$．其中T（a）表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（1，2）；第2015棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（5，403）．

Answer 1

分析 根據(jù)規(guī)律找出種植點(diǎn)橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的通式，分別代入6和2015即可求得種植點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：∵T[$\frac{k-1}{5}$]-T[$\frac{k-2}{5}$]組成的數(shù)列為
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
將k=1，2，3，4，5，…，
一一代入計算得數(shù)列x_n為
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即x_n的重復(fù)規(guī)律是x_5n+1=1，x_5n+2=2，x_5n+3=3，x_5n+4=4，x_5n=5．n∈N^*．
數(shù)列{y_n}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即y_n的重復(fù)規(guī)律是y_5n+k=n，0≤k＜5．
∴由題意可知第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（1，2），
第2015棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)（5，403）．

點(diǎn)評 本題給出遞推式，著重考查了數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意創(chuàng)新題的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．