Question

11．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為B₁C₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）求三棱錐F-A₁ED與F-A₁D₁D的體積之比；
（Ⅲ）求直線AD與平面A₁ED所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，我們易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，進(jìn)而得到AE⊥ED，又由AA₁⊥底面ABCD，得AA₁⊥ED，結(jié)合線面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA₁EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）分別求出體積，即可求三棱錐F-A₁ED與F-A₁D₁D的體積之比；
（Ⅲ）利用等體積，求出A到平面A₁ED的距離，即可求直線AD與平面A₁ED所成的角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴△ABC為等邊三角形，∠AEB=60°
△CDE中，∠CED=30°
∴AE⊥ED
∵AA₁⊥底面ABCD，
∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A
∴ED⊥平面AA₁EF
又∵ED?平面A₁ED
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）解：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴ED=2$\sqrt{3}$，AE=2，∴DE⊥AE，
∴三棱錐F-A₁ED的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×2\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
三棱錐F-A₁D₁D的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱錐F-A₁ED與F-A₁D₁D的體積之比是1：1；
（Ⅲ）解：△A₁ED的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{16+4}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{60}$，
設(shè)A到平面A₁ED的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{60}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×4$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直線AD與平面A₁ED所成的角的正弦值=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中根據(jù)AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)，得到AE⊥ED，是解答本題的關(guān)鍵．