Question

16．已知在（$\sqrt{{x}^{3}}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：1
（1）求展開式中x⁶的系數(shù)；
（2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；
（3）求n+9C${\;}_{n}^{2}$+81C${\;}_{n}^{3}$+…+9^n-1C${\;}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，求出展開式中第3項與第5項的系數(shù)列出方程求出n的值．
（2）利用兩邊夾定理，設出第r+1項為系數(shù)的絕對值最大的項，即可列出關于r的不等式，解得即可，
（3）利用二項式定理求得結果．

解答 解：（1）（$\sqrt{{x}^{3}}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中通項公式為T_r+1=C_n^r${x}^{\frac{3n-5r}{2}}$（-2）^r，
∴展開式中第3項與第5項的系數(shù)分別為2²C_n²，2⁴C_n⁴，
∴2⁴C_n⁴：2²C_n²=14：1，
即2C_n⁴=7C_n²，
解得n=9，
∴展開式中通項公式為T_r+1=C₉^r${x}^{\frac{27-5r}{2}}$（-2）^r，
令$\frac{27-5r}{2}$=6，
解得r=3，
∴展開式中x⁶的系數(shù)為C₉³（-2）³=-224，
（2）設第r項的系數(shù)的絕對值最大，
則C₉^r-12^r-1≤C₉^r2^r≤C₉^r+12^r+1，
解得r=9，
則展開式中系數(shù)絕對值最大的項第10項，
（3）9+9C₉²+81C₉³+…+9⁸C₉⁹=$\frac{1}{9}$（9C₉¹+9²C₉²+9³C₉³+…+9⁹C₉⁹）
=$\frac{1}{9}$（9⁰C₉⁰+9C₉¹+9²C₉²+9³C₉³+…+9⁹C₉⁹）=$\frac{1}{9}$[（1+9）⁹-1]=$\frac{1{0}^{9}-1}{9}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．