Question

3．已知角α始邊與x軸正半軸重合，終邊過(guò)直線ax+y+a+3=0與圓x²+y²=1的切點(diǎn)，則sin2α等于（　　）

• A． -$\frac{24}{25}$
• B． -$\frac{5}{13}$
• C． $\frac{5}{13}$
• D． $\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由已知條件和點(diǎn)到直線的距離公式求出a的值，然后聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y+5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x，y的值，進(jìn)一步求出sinα，cosα，再根據(jù)二倍角的正弦公式即可求出sin2α的值．

解答 解：∵直線ax+y+a+3=0與圓x²+y²=1相切，
∴圓心（0，0）到直線的距離d=r，即$\frac{|a+3|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}=1$，
解得：a=$-\frac{4}{3}$．
直線ax+y+a+3=0即$-\frac{4}{3}x+y-\frac{4}{3}+3=0$，得4x-3y+5=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y+5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴x=$-\frac{4}{5}$，y=$\frac{3}{5}$，r=|OP|=1．
∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}=-\frac{4}{5}$．
則sin2α=2sinαcosα=$2×\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）=-\frac{24}{25}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，二倍角的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．