Question

7．我國(guó)數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》，其中卷第七《盈不足》有一道關(guān)于等比數(shù)列求和試題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺．莞生一日，長(zhǎng)一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長(zhǎng)等？”其意思是：今有蒲生1日，長(zhǎng)3尺．莞生1日，長(zhǎng)1尺．蒲的生長(zhǎng)逐日減其一半，莞的生長(zhǎng)逐日增加1倍，問幾日蒲（水生植物名）、莞（植物名）長(zhǎng)度相等．試估計(jì)3日蒲、莞長(zhǎng)度相等（結(jié)果采取“只入不舍”原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）

Answer 1

分析 設(shè)蒲（水生植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{a_n}，其a₁=3，公比為$\frac{1}{2}$，其前n項(xiàng)和為A_n．莞（植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{b_n}，其b₁=1，公比為2，其前n項(xiàng)和為B_n．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)蒲（水生植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{a_n}，其a₁=3，公比為$\frac{1}{2}$，其前n項(xiàng)和為A_n．莞（植物名）的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{b_n}，其b₁=1，公比為2，其前n項(xiàng)和為B_n．
則A_n=$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，B_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
令$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
化為：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2ⁿ=6，2ⁿ=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
取n=3．
∴估計(jì)3日蒲、莞長(zhǎng)度相等，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．