Question

12．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y≤1\end{array}\right.$，z=2x+y的最大值為m，若正數(shù)a，b滿足a+b=m，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值m，然后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）
由z=2x+y得y=-2x+z，平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×3=6．
即m=6．
則a+b=6，即$\frac{a}{6}$+$\frac{6}$=1，
則$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（$\frac{a}{6}$+$\frac{6}$）=$\frac{1}{6}$+$\frac{4}{6}$+$\frac{4a}{6b}$+$\frac{6a}$≥$\frac{5}{6}$+2$\sqrt{\frac{4a}{6b}•\frac{6a}}$=$\frac{5}{6}$+2×$\frac{2}{6}$=$\frac{3}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4a}{6b}$=$\frac{6a}$，即b=2a時(shí)取等號(hào)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．