Question

17．四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其五個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若四棱錐P-ABCD的側(cè)面積等于4（1+$\sqrt{2}$），則該外接球的表面積是（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 24π
• D． 36π

Answer 1

分析 將三視圖還原為直觀圖，得四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球．由此結(jié)合題意，可得正方體的棱長(zhǎng)為2，算出外接球半徑R，再結(jié)合球的表面積公式，即可得到該球表面積．

解答 解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則由四棱錐P-ABCD的側(cè)面積等于4（1+$\sqrt{2}$），可得$2×\frac{1}{2}×a×a+2×\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$=4（1+$\sqrt{2}$），∴a=2，設(shè)O是PC中點(diǎn)，則OA=OB=OC=OP=$\sqrt{3}$，
所以，四棱錐P-ABCD外接球球心與正方體外接球球心重合．
所以S=$4π•（\sqrt{3}）^{2}$=12π，
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了將三視圖還原為直觀圖，并且求外接球的表面積，著重考查了正方體的性質(zhì)、三視圖和球內(nèi)接多面體等知識(shí)，屬于中檔題．