已知函數(shù)定義域為
(
),設(shè)
.
(1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)
在
上為單調(diào)函數(shù);
(2)求證:;
(3)求證:對于任意的,總存在
,滿足
,并確定這樣的
的個數(shù).
(1) 因為
由;由
,
所以在
上遞增,在
上遞減
欲在
上為單調(diào)函數(shù),則
-----------------3分
(2)因為在
上遞增,在
上遞減,
所以在
處取得極小值
又,所以
在
上的最小值為
從而當(dāng)時,
,即
-----------------6分
(3)因為,所以
即為
,
令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程
=0在
上有解,并討論解的個數(shù) --------7分
因為,
, --------------8分
所以 ① 當(dāng)時,
,
所以在
上有解,且只有一解
② 當(dāng)時,
,但由于
,
所以在
上有解,且有兩解
③ 當(dāng)時,
,
所以在
上有且只有一解;
④ 當(dāng)時,
在
上也有且只有一解 ------------10分
綜上所述, 對于任意的,總存在
,滿足
,
且當(dāng)時,有唯一的
適合題意;
當(dāng)時,有兩個
適合題.
解析
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(Ⅰ)如果函數(shù)在
上是單調(diào)函數(shù),求
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在正實數(shù),使得函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有兩個不同的零點?若存在,請求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分16分)
已知定義在上的函數(shù)
,其中
為大于零的常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,令
,
求證:當(dāng)時,
(
為自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅱ)若函數(shù),在
處取得最大值,
求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)。
(1)若,函數(shù)
在
上既能取到極大值,又能取到極小值,求
的取值范圍;
(2)當(dāng)時,
對任意的
恒成立,求
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)
定義在(0,+∞)上的函數(shù),
,且
在
處取極值。
(Ⅰ)確定函數(shù)的單調(diào)性。
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,恒有
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x
(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)a>0,證明:當(dāng)0<x<時,f
>f
;
(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0,證明f′(x0)<0.
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