Question

5．已知函數(shù)f（x）及g（x）（x∈D），若對于任意的x∈D，存在x₀，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀）恒成立且f（x₀）=g（x₀），則稱f（x），g（x）為“兄弟函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=x²+px+q（p，q∈R），g（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$是定義在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的“兄弟函數(shù)”，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為2．

Answer 1

分析 化簡g（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，從而由基本不等式可判斷g（x）在x=1處取得最小值1；從而可知f（x）在x=1處取得最小值1，再由二次函數(shù)的頂點式寫出f（x）=（x-1）²+1，從而求函數(shù)的最大值．

解答 解：∵g（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-1≥2-1=1；
（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時，等號成立）
∴g（x）在x=1處取得最小值1；
又∵f（x）與g（x）是定義在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的“兄弟函數(shù)”，
∴f（x）在x=1處取得最小值1；
∴f（x）=x²+px+q=（x-1）²+1；
又∵|$\frac{1}{2}$-1|＜|2-1|，
∴f_max（x）=f（2）=1+1=2；
故答案為：2．

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與轉(zhuǎn)化能力，同時考查了基本不等式的應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．