Question

13．已知O為△ABC的外心，AB=2a，AC=$\frac{2}{a}$，∠BAC=120°，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則3x+6y的最小值為$6+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何圖形求解出O點的坐標，先求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐標，再由$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，運用向量的坐標相等求解出x，y的值，得出3x+6y=$\frac{1}{{a}^{2}}+2{a}^{2}+6$，運用基本不等式求解即可得出最小值．

解答 解：根據(jù)題意，建立坐標系如圖，過O作AB的垂直平分線，垂足為E，
則A（0，0），C（$\frac{2}{a}$，0），B（-a，$\sqrt{3}a$），E（$-\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），O（$\frac{1}{a}$，m），
∵∠BAC=120°，∴$\frac{m-\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{1}{a}+\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化簡得$m=\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，∴O（$\frac{1}{a}$，$\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}$），
∴$\overrightarrow{AC}=（\frac{2}{a}，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-a，\sqrt{3}a）$，$\overrightarrow{AO}=（\frac{1}{a}，\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}）$，
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=-ax+\frac{2y}{a}}\\{\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}=\sqrt{3}xa}\end{array}\right.$
解得$x=\frac{1}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3}$，$2y=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}{a}^{2}$，
∴3x+6y=3（$\frac{1}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}{a}^{2}$）
=$\frac{1}{{a}^{2}}+2{a}^{2}+6$
≥$2\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}×2{a}^{2}}$+6
=6+$2\sqrt{2}$，
故答案為：$6+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算，結(jié)合基本不等式求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是準確求解向量的坐標．