Question

15．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx+c的圖象經過原點，且x=0是該函數(shù)的一個極值點．
（1）求f（x）的解析式，并求該函數(shù)的極大值和極小值；
（2）設g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＜1）}\\{mlnx（x≥1）}\end{array}\right.$，求g（x）在[-1．e]上的最大值；
（3）曲線y=g（x）上是否存在兩點P，Q，對于任意m＞0，都滿足0P⊥0Q，且線段PQ被y軸平分？

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=0，b=0，求得導數(shù)，求得單調區(qū)間和極值；
（2）分別求得-1≤x＜1的最大值，對m討論，由對數(shù)函數(shù)的單調性，即可得到所求最大值；
（3）假設曲線y=g（x）上存在兩點P，Q，對于任意m＞0，都滿足0P⊥0Q，且線段PQ被y軸平分．設P的坐標，討論Q的位置，結合中點坐標公式和直線斜率之積為-1，即可判斷．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx+c的圖象經過原點，
即有c=0，f（x）的導數(shù)為f′（x）=-3x²+2x+b，
x=0是該函數(shù)的一個極值點，即為f′（0）=0，
解得b=0，
則f（x）=-x³+x²，
由f′（x）=-3x²+2x，當0＜x＜$\frac{2}{3}$時，f（x）遞增；
當x＞$\frac{2}{3}$或x＜0時，f（x）遞減．
即有x=0處取得極小值且為0；
x=$\frac{2}{3}$處取得極大值，且為$\frac{4}{27}$；
（2）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＜1）}\\{mlnx（x≥1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{x}^{3}，x＜1}\\{mlnx，x≥1}\end{array}\right.$，
當-1≤x＜1時，g（x）在[-1，0）遞減，（0，$\frac{2}{3}$）遞增，（$\frac{2}{3}$，1）遞減，
即有x=$\frac{2}{3}$取得最大值，且為$\frac{4}{27}$；
當x≥1時，m=0時，g（x）=0；m＜0，g（x）≤0；
m=$\frac{4}{27}$時，g（x）在[1，e]遞增，x=e取得最大值$\frac{4}{27}$；
m＞$\frac{4}{27}$，g（x）在[1，e]遞增，x=e取得最大值m；
0＜m＜$\frac{4}{27}$時，g（x）在[1，e]遞增，x=e取得最大值m．
綜上可得，當m≤0時，最大值為$\frac{4}{27}$；
當m≥$\frac{4}{27}$時，最大值為m；0＜m＜$\frac{4}{27}$時，最大值為$\frac{4}{27}$；
（3）曲線y=g（x）上存在兩點P，Q，對于任意m＞0，
都滿足0P⊥0Q，且線段PQ被y軸平分．
不妨設P（a，a²-a³），若Q在x＜1的圖象上，則Q（-a，a²+a³），
由$\frac{{a}^{2}-{a}^{3}}{a}$•$\frac{{a}^{2}+{a}^{3}}{-a}$=-1，即有a²-a⁴=1，無解；
若Q在x≥1的圖象上，則Q（-a，mln（-a）），
即有$\frac{{a}^{2}-{a}^{3}}{a}$•$\frac{mln（-a）}{-a}$=-1，即為（a-1）•mln（-a）=1，
對任意m＞0，不存在a＜0成立．
故曲線y=g（x）上不存在兩點P，Q，對于任意m＞0，
都滿足0P⊥0Q，且線段PQ被y軸平分．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查最值的求法，考查存在性問題的解法，屬于中檔題．