Question

18．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{1}{1+2x}$+$\frac{1}{1+3y}$=$\frac{1}{2}$，則xy的最小值等于$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由于正實(shí)數(shù)x，y滿足條$\frac{1}{1+2x}$+$\frac{1}{1+3y}$=$\frac{1}{2}$，用x表示y，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xy，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：由$\frac{1}{1+2x}$+$\frac{1}{1+3y}$=$\frac{1}{2}$，解得：y=$\frac{2x+3}{3（2x-1）}$＞0，x＞$\frac{1}{2}$，
∴xy=$\frac{x（2x+3）}{3（2x-1）}$=f（x），
∴f′（x）=$\frac{3（2x+1）（2x-3）}{{（6x-3）}^{2}}$，（x＞$\frac{1}{2}$），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于中檔題．