Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），若點(diǎn)P在拋物線C上運(yùn)動，點(diǎn)Q在直線x+y+5=0上運(yùn)動，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{9\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{19\sqrt{2}}{8}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），所以p＞0，且$\frac{P}{2}$=1，從而求得p值，設(shè)與直線x+y+5=0平行的拋物線的切線方程為x+y+m=0，直線x+y+5=0與切線距離即為|PQ|的最小值，聯(lián)立切線方程與拋物線方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，從而得切線方程，根據(jù)平行線間的間距離公式即可求得答案．

解答 解：因?yàn)閥²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
所以p＞0，且$\frac{P}{2}$=1，解得p=2，
所以拋物線方程為y²=4x，
設(shè)與直線x+y+5=0平行的拋物線的切線方程為x+y+m=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²+4y+4m=0，
令△=0，即4²-4×4m=0，解得m=1，
則切線方程為x+y+1=0，
兩平行線間的距離d=$\frac{|5-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即為|PQ|的最小值．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、拋物線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，解決本題的關(guān)鍵把|PQ|的最小值轉(zhuǎn)化為直線與拋物線切線間的距離求解．