Question

9．已知△ABC的三角A，B，C成等差數(shù)列，三邊a，b，c成等比數(shù)列．
（1）求角B的度數(shù)．
（2）若△ABC的面積S=$\sqrt{3}$，求邊b的長．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的三角A，B，C成等差數(shù)列，2B=A+C，又A+B+C=180°，即可得出．
（2）由三邊a，b，c成等比數(shù)列．可得b²=ac，利用余弦定理可得：cos60°=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，可得a=c．再利用等邊三角形的面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°．
 （2）∵三邊a，b，c成等比數(shù)列．∴b²=ac，
由余弦定理可得：cos60°=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，∴$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，化為a=c．
∴△ABC是等邊三角形．
∴△ABC的面積S=$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×b²，解得b=2．

點評 本題考查了余弦定理、三角形內角和定理、三角函數(shù)求值、等邊三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．