Question

1．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤-nx+3n}\end{array}\right.$，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為f（n）（n∈N^*）．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值及f（n）的表達(dá)式（不需證明）；
（2）設(shè)b_n=2ⁿf（n），且S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤-nx+3n}\end{array}\right.$，可得f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9；
∴f（n）=3n．
（2）由題意知：${b_n}=3n•{2^n}$，
∴${S_n}=3•{2^1}+6•{2^2}+9•{2^3}+…+3n•{2^n}$…①
∴$2{S_n}=3•{2^2}+6•{2^3}+9•{2^4}+…+3n•{2^{n+1}}$…②
∴①-②得$-{S_n}=3•{2^1}+3•{2^2}+3•{2^3}+…+3•{2^n}-3n•{2^{n+1}}$=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹
=$3•\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-3n•{2^{n+1}}$
=3（2ⁿ⁺¹-2）-3n•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=6+（3n-3）{2^{n+1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、線性規(guī)劃，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．