Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）若b_n=a_2n-1-

1

3

，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列并求其通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知遞推關(guān)系式推出a_2n+1=4a_2n-1-1，然后證明

bn+1

bn

=4，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，即可求其通項公式；
（2）利用（1）兩個數(shù)列的關(guān)系式，通過n為奇數(shù)與偶數(shù)求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）通過n為奇數(shù)與偶數(shù)分別求解

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的和，然后判斷與3的大小關(guān)系即可．．

解答： （本小題滿分15分）
解：（1）a2n+1=2a2n+(-1)2n=2[2a2n-1+(-1)2n-1]+1=4a2n-1-1，…（2分）

bn+1

bn

=

a2n+1- 1 3

a2n-1- 1 3

=

4a2n-1- 4 3

a2n-1- 1 3

=4，又b1=a1-

1

3

=

2

3

．
所以{b_n}是首項為

2

3

，公比為4的等比數(shù)列，且bn=

2

3

×4n-1．…（5分）
（2）由（1）可知a2n-1=bn+

1

3

=

2

3

×4n-1+

1

3

=

1

3

(22n-1+1)，…（7分）a2n=2a2n-1+(-1)2n-1=

2

3

(22n-1+1)-1=

1

3

(22n-1)．…（9分）
所以an=

1

3

(2n+(-1)n+1)，
或an=

1 3 (2n-1)；(n=2k) 1 3 (2n+1)．(n=2k-1)

…（10分）
（3）∴a2n=

1

3

•22n-

1

3

，a2n-1=

2

3

•22n-1+

1

3

．

1

a2n-1

+

1

a2n

=

3

22n-1+1

+

3

22n-1

=

3×(22n+22n-1)

22n-1•22n+22n-22n-1-1

=

3×(22n+22n-1)

22n-1•22n+22n-1-1

≤

3×(22n+22n-1)

22n-1•22n

=3(

1

22n-1

+

1

22n

)…（12分）
當(dāng)n=2k時，(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2k-1

+

1

a2k

)
≤3(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22k

)=3×

1 2 (1- 1 22k )

1- 1 2

=3-

3

22k

＜3
當(dāng)n=2k-1時，(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2k-3

+

1

a2k-2

)+

1

a2k-1

＜(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2k-1

+

1

a2k

)＜3
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3．…（15分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的求法，前n項和的求法，數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．