Question

9．已知f（n）=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$，g（n）=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{{n}^{2}}$），n∈N^*．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，試比較f（n）與g（n）的大小關(guān)系；
（2）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1=g（1）；當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=$\frac{9}{8}$，g（2）=$\frac{11}{8}$，f（2）＜g（2）；同理可得：當(dāng)n=3時(shí)，f（3）＜g（3）．
（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1=g（1）；
當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=$\frac{9}{8}$，g（2）=$\frac{11}{8}$，∴f（2）＜g（2）；
當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=$\frac{251}{216}$，g（3）=$\frac{312}{216}$，∴f（3）＜g（3）．
（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）（k≥3）時(shí)，不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，則f（k+1）=f（k）+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$$＜\frac{1}{2}（3-\frac{1}{{k}^{2}}）$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，
∵$\frac{1}{2（k+1）^{2}}-\frac{1}{2{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$\frac{-3k-1}{2（k+1）^{2}{k}^{2}}$＜0，∴$-\frac{1}{2{k}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}$$＜-\frac{1}{2（k+1）^{2}}$，
∴f（k+1）＜$\frac{3}{2}-\frac{1}{2（k+1）^{2}}$=g（k+1），即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．由①②可知：對(duì)?n∈N^*，都有f（n）≤g（n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、觀察分析猜想歸納能力，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．