Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+ax+b（a，b∈R），f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f′（-1）=0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f′（-1）=0，求出a，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）f（x）在[-2，-1]與[3，4]上單調(diào)遞減，在（-1，3）上單調(diào)遞增，即可求函數(shù)f（x）在[-2，4]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+ax+b，
∴f′（x）=-3x²+6x+a，
∴f′（-1）=-9+a=0，
∴a=9，
∴f′（x）=-3（x+1）（x-3），
由f′（x）＞0得-1＜x＜3；f′（x）＜0得x＜-1或x＞3，
∴函數(shù)f（x）在（-1，3）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）、（3，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）由（1）f（x）在[-2，-1]與[3，4]上單調(diào)遞減，在（-1，3）上單調(diào)遞增，
又f（-2）=2+b，f（-1）=-5+b，f（3）=27+b，f（4）=20+b，
∴f（x）_min=f（-1）=-5+b，f（x）_max=f（3）=27+b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．