Question

9．拋物線y²=4x的準線與x軸相交于點P，過點P作斜率k（k＞0）的直線交拋物線于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若|FA|=3|FB|，則直線AB的斜率k=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標，再設(shè)出AB的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由焦半徑結(jié)合|FA|=3|FB|，求得A的坐標，代入兩點求斜率公式得答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知|FA|=3|FB|，得：x₁+1=3（x₂+1），即x₁=3x₂+2，①
∵P（-1，0），則AB的方程：y=kx+k，
與y²=4x聯(lián)立，得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，則x₁x₂=1，②
由①②得x₂=3，則A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴k=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-0}{\frac{1}{3}-（-1）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查，直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查焦半徑公式的應(yīng)用，屬于中檔題．