Question

6．已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosa|+|x+2cosa|+3cosa），若對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x-3）≤f（x）恒成立，則a的取值范圍是[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 令t=cosa，討論t，把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，由對x∈R，都有f（x-3）≤f（x），可得-2t-（4t）≤3，求解該不等式得答案．

解答 解：令t=cosa，則當(dāng)x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+t|+|x+2t|+3t），
若t≥0，則當(dāng)x＞0時，f（x）=x+3t，
當(dāng)x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（-x+3t）=x-3t，
由f（x-3）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的圖象恒在y=f（x-3）的圖象上方，
則cosa≥0；
當(dāng)t＜0時，當(dāng)x≥0時，f（x）=
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-t}\\{t，-t＜x＜-2t}\\{x+3t，x≥-2t}\end{array}\right.$，
由f（x）=x+3t，x≥-2t，得f（x）≥t；
當(dāng)-t＜x＜-2t時，f（x）=t；由f（x）=-x，0≤x≤-t，得f（x）≥t．
∴當(dāng)x＞0時，f（x）_min=t．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）_max=-t．
∵對x∈R，都有f（x-3）≤f（x），
∴-3t-3t≤3，解得-$\frac{1}{2}≤t＜0$，
即有-$\frac{1}{2}≤cosa＜0$，
綜上可得cosa≥-$\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤a≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故答案為：[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了恒成立問題，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，對任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x-3）≤f（x）成立的理解與應(yīng)用是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．