Question

12．如果函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，給出下列判斷：
①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$（-3，-\frac{1}{2}）$內(nèi)單調(diào)遞增；
②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（4，5）內(nèi)單調(diào)遞增；
③函數(shù)y=f（x）的最小值是f（-2）和f（4）中較小的一個(gè)；
④函數(shù)y=xf′（x）在區(qū)間（-3，-2）內(nèi)單調(diào)遞增；
⑤函數(shù)y=xf′（x）在區(qū)間$（-\frac{1}{2}，3）$內(nèi)有極值點(diǎn)；
則上述判斷中正確的是②③⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系分別判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可得到結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-3，-2）上f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，則①錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（4，5）內(nèi)f′（x）＞0，則函數(shù)單調(diào)遞增；故②正確，
③由圖象知當(dāng)x=-2或4時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，則函數(shù)y=f（x）的最小值是f（-2）和f（4）中較小的一個(gè)，③正確；
④函數(shù)y=xf′（x）在區(qū)間（-3，-2）的導(dǎo)數(shù)為y′=f′（x）+x[f′（x）]′，
∵當(dāng)-3＜x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，且f′（x）為增函數(shù)，∴[f′（x）]′＞0，
∴y′=f′（x）+x[f′（x）]′＜0，即y=xf'（x）在區(qū)間（-3，-2）上單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤，
⑤函數(shù)y=xf′（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）+x[f′（x）]′，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f′（x）為減函數(shù)，∴[f′（x）]′＜0，
此時(shí)y′=f′（x）+x[f′（x）]′＞0此時(shí)函數(shù)y=xf'（x）為增函數(shù)，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，f′（x）為減函數(shù)，∴[f′（x）]′＜0，
此時(shí)y′=f′（x）+x[f′（x）]′＜0此時(shí)函數(shù)y=xf'（x）為減函數(shù)，
則函數(shù)y=xf'（x）在區(qū)間$（-\frac{1}{2}，3）$內(nèi)有極值點(diǎn)；故⑤正確，
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的識(shí)圖和用圖的能力．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．