Question

6．在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集D={$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱“序”的關(guān)系，記為“＞＞”．定義如下：對于任意兩個向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），“$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$”當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定義的關(guān)系“＞＞”，給出如下四個命題：
①若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0），則$\overrightarrow{{e}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞＞$\overrightarrow{0}$；  
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，則$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
③若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，則對于任意$\overrightarrow{a}$∈D，$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$； 
④對于任意向量$\overline{a}$＞＞$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{0}$=（0，0），若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，則$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$•$\overrightarrow{a}$．
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)題目中“＞＞”關(guān)系的定義，抓住判斷的關(guān)鍵“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，判斷4個命題是否成立，從而得到本題結(jié)論．

解答 解：由定義：對于任意兩個向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），“$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$”當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．
可知：
①當(dāng)$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0）時，
y₁=0，y₂=1，0＜1，
∴y₁＜y₂，
不符合條件，故$\overrightarrow{{e}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{e}_{2}}$不成立，
命題①不正確； 
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$時，
x₁≥x₂，y₁＞y₂，x₂≥x₃，y₂＞y₃，
∴x₁≥x₃，y₁＞y₃．
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
∴命題②正確；
③設(shè)$\overrightarrow{{a}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{a}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{a}=（x，y）$，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，
∴x₁≥x₂，y₁＞y₂，
∴x₁+x≥x₂+x，y₁+y＞y₂+y，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$，
∴命題③正確；
④設(shè)$\overrightarrow{{a}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{a}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{a}=（x，y）$，
∵$\overline{a}$＞＞$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{0}$=（0，0），
∴x≥0，y＞0．
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，
∴x₁≥x₂，y₁＞y₂，
∴x₁x≥x₂x，y₁y＞y₂y．
∴x₁x+y₁y＞x₂x+y₂y，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$=x₁x+y₁y，
$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$=x₂x+y₂y，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$•$\overrightarrow{a}$．
∴命題④正確．
故正確的命題有：②③④．共3個．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查新定義的應(yīng)用和基本不等關(guān)系，本題有一定的新穎性，計算難度不大，屬于基礎(chǔ)題．