Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）設(shè)H為CD上一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{CH}$=2$\overrightarrow{HD}$，若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求二面角H-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過題意以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，所求二面角的余弦值即為平面HPB的一個(gè)法向量與平面PBC的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，
∴BD=$\sqrt{2}$，∴∠BDC=45°，
又BC=$\sqrt{2}$，∴CD=2，
∴CD²=BC²+BD²，即BC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC為PC與平面PBD所成的角，
∴$tan∠BPC=\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PB=$\sqrt{3}$，PD=1，
由$\overrightarrow{CH}$=2$\overrightarrow{HD}$及CD=2，可得CH=$\frac{4}{3}$，DH=$\frac{2}{3}$，
以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，
則B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，$\frac{2}{3}$，0），
設(shè)平面HPB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+\frac{1}{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取y₁=-3，則$\overrightarrow{n}$=（1，-3，-2），
同理可得平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
又$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=-\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角H-PB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查二面角，空間中面與面的位置關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．