Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）．求證：0＜c＜1是數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞增數(shù)列的必要不充分條件．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：證明題,轉(zhuǎn)化思想

分析：由已知條件求出x₂=c，x3=-c2+2c，由x₃＞x₂求出數(shù)列是遞增數(shù)列的c的初步范圍，然后再由數(shù)列是遞增數(shù)列得到xn+1-xn=c-xn2＞0，分0＜c≤

1

4

和c＞

1

4

討論數(shù)列是否一定為遞增數(shù)列．

解答： 證明：由x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c，得
x₂=c，x3=-c2+2c，
由數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，得
x3-x2=-c2+2c-c＞0，解得0＜c＜1．
再由x_n+1=-x_n²+x_n+c，得
xn+1-xn=c-xn2，
由數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，得
xn+1-xn=c-xn2＞0，
即xn2＜c＜1，
0=x₁≤x_n＜

c

，
xn+2-xn+1=(xn+12-xn2)+(xn+1-xn)=-（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n-1），
當(dāng)0＜c≤

1

4

時(shí)，xn＜

c

≤

1

2

，
⇒x_n-x_n+1+1＞0?x_n+2-x_n+1-1＜0，?x_n+2-x_n+1與x_n+1-x_n同號(hào)，
由x₂-x₁=c＞0⇒x_n+1-x_n＞0?x_n+1＞x_n，數(shù)列是遞增數(shù)列．
當(dāng)c＞

1

4

時(shí)，存在N使x_N＞

1

2

⇒x_N+x_N+1＞1⇒x_N+2-x_N+1與x_N+1-x_N異號(hào)，
與數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列矛盾．
∴當(dāng)0＜c≤

1

4

時(shí)，數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列．
故0＜c＜1是數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞增數(shù)列的必要不充分條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的證明，充要條件的證明，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力，是壓軸題．