Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-1
（1）當(dāng)a＞ln2-1且x＞0時(shí)，證明：f（x）＞x²-2ax
（2）若f（x）≥x²-ax在（0，1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f（x）-x²+2ax=e^x-1-x²+2ax，x＞0，則g′（x）=e^x-2x+2a=u（x），再一次求導(dǎo)可得u′（x）=e^x-2，求出極小值即可判斷出u（x）的符號(hào)，即可證明；
（2）f（x）≥x²-ax在（0，1）恒成立，?a≥x+$\frac{1}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$=v（x）在（0，1）恒成立，v′（x）=$\frac{（x-1）（x+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$，令h（x）=x+1-e^x，x∈（0，1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，判定其符號(hào)即可得出．

解答 （1）證明：令g（x）=f（x）-x²+2ax=e^x-1-x²+2ax，x＞0，
則g′（x）=e^x-2x+2a=u（x），
u′（x）=e^x-2，
當(dāng)0＜x＜ln2時(shí)，u′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)u（x）單調(diào)遞減；當(dāng)ln2＜x時(shí)，u′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)u（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)u（x）取得極小值即最小值，u（ln2）=2-2ln2+2a，
∵a＞ln2-1，
∴u（ln2）＞2-2ln2+2（ln2-1）=0，
∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=1-1-0+0=0，
∴f（x）＞x²-2ax．
（2）解：f（x）≥x²-ax在（0，1）恒成立，
則a≥x+$\frac{1}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$=v（x）在（0，1）恒成立，
v′（x）=$1-\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x+1-e^x，x∈（0，1），
則h′（x）=1-e^x＜0，
∴h（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=1-1=0，
∴v′（x）＞0，
∴函數(shù)v（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
∴a≥v（1）=2-e．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2-e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．