Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+1（a為常數(shù)）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的a∈（1，$\sqrt{2}$），都存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+lna＞m（a-a²）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，x＞0，判斷2x²-2ax+10的符號(hào)，分類(lèi)得出①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0成立，當(dāng)-$\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
即可得出當(dāng)a$≤\sqrt{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，②當(dāng)a$＞\sqrt{2}$時(shí)，求解不等式2x²-2ax+10≥0，2x²-2ax+10＜0，得出f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）單調(diào)遞減，
（2）f（x）_max=f（1）=2-2a，存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+lna＞m（a-a²）成立，即2-2a+lna＞m（a-a²），m＞$\frac{2}{a}$$+\frac{lna}{a-{a}^{2}}$恒成立，
構(gòu)造函數(shù)g（a）=$\frac{2}{a}$$+\frac{lna}{a-{a}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)求解即可轉(zhuǎn)化為最值即可判斷．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+1（a為常數(shù)）
（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，x＞0，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0成立，
若f′（x）≥0，則2x²-2ax+10≥0，△=4a²-8，
當(dāng)-$\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
所以當(dāng)a$≤\sqrt{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a$＞\sqrt{2}$時(shí)，
∵2x²-2ax+10≥0，x$＞\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$或0$＜x＜\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$
2x²-2ax+10＜0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$$＜x＜\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上單調(diào)遞增，
在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）單調(diào)遞減，
（2）∵a∈（1，$\sqrt{2}$），$\frac{1}{x}$+2x-2a＞0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=2-2a，
存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+lna＞m（a-a²）成立，
即2-2a+lna＞m（a-a²），
∵任意的a∈（1，$\sqrt{2}$），
∴a-a²＜0，
即m＞$\frac{2}{a}$$+\frac{lna}{a-{a}^{2}}$恒成立，
令g（a）=$\frac{2}{a}$$+\frac{lna}{a-{a}^{2}}$，
∵m＞$\frac{2-2a+lna}{a-{a}^{2}}$恒成立  最后化簡(jiǎn)為g′（a）=$\frac{（2a-1）lna-（2{a}^{2}-3a+1）}{（a-{a}^{2}）^{2}}$=$\frac{（2a-1）（lna-a+1）}{（a-{a}^{2}）^{2}}$
∵任意的a∈（1，$\sqrt{2}$），
$\frac{（2a-1）（lna-a+1）}{（a-{a}^{2}）^{2}}$＞0，
∴g（a）=$\frac{2}{a}$$+\frac{lna}{a-{a}^{2}}$，a∈（1，$\sqrt{2}$）是增函數(shù)．
∴g（x）＜g（$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{\sqrt{2}}$+$\frac{ln\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}-\frac{（2+\sqrt{2}）ln\sqrt{2}}{2}$
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍m≥$\sqrt{2}-\frac{（2+\sqrt{2}）ln\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，同學(xué)們?cè)谧鲱}的同時(shí)，可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的草圖來(lái)加深對(duì)題意的理解．