Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n=-3n²，{b_n}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b₁b₂b₃=512，a₁+b₁=a₃+b₃．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)；
（2）若c_n=

bn

(bn-2)(bn-1)

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：

2

3

≤Tn＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=-3，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-3n²+3（n-1）²=-6n+3，由此能求出a_n=-6n+3；由已知得

(b1q)3=512 -3+b1=-15+b1q2

，由此能求出b_n=2ⁿ⁺¹．
（2）cn=

2n+1

(2n+1-2)(2n+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明

2

3

≤Tn＜1．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n=-3n²，
∴a₁=-3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-3n²+3（n-1）²=-6n+3，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，
∴a_n=-6n+3，
∵{b_n}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b₁b₂b₃=512，a₁+b₁=a₃+b₃，
∴

(b1q)3=512 -3+b1=-15+b1q2

，
解得b₁=4，q=2或b1=-16，q=-

1

2

（舍），
∴b_n=2ⁿ⁺¹．（4分）
（2）證明：cn=

2n+1

(2n+1-2)(2n+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

（8分）
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

∵{ T_n } 是遞增數(shù)列，（12分）
∴

2

3

≤Tn＜1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．