Question

16．已知1＜a＜2，f（x）=log_a（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）（x＞1），
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）和這個反函數(shù)的定義域D；
（2）設(shè)x∈D，g（x）=$\frac{{2}^{x}+2{\;}^{-x}}{2}$，比較f^-1（x）與g（x）的大�。�
（3）設(shè)b_n=f^-1（n），求證：對任意正整數(shù)n，都有b₁+b₂+b₃+…+b_2n＜4ⁿ-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由求解反函數(shù)的步驟，首先反解出x，再將x換成y，y換成x，可得反函數(shù)，再由x＞1，1＜a＜2，可得定義域D；
（2）作差，分解因式，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷f^-1（x）與g（x）的大小；
（3）運用（2）的結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，再由基本不等式，即可得證．

解答 解：（1）y=f（x）=log_a（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）（x＞1），
即有a^y=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$，a^-y=x-$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
則x=$\frac{1}{2}$（a^y+a^-y），即有f^-1（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），
當x＞1時，x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$＞1，又1＜a＜2，
則log_a（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）＞0，即反函數(shù)的定義域D=（0，+∞）；
（2）g（x）-f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}+2{\;}^{-x}}{2}$-$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）
=$\frac{1}{2}$（2^x-a^x）（1-$\frac{1}{{2}^{x}{a}^{x}}$），
由1＜a＜2，x＞0，則2^x＞a^x，$\frac{1}{{2}^{x}{a}^{x}}$＜1，
則g（x）-f^-1（x）＞0，即g（x）＞f^-1（x）；
（3）證明：b_n=f^-1（n）=$\frac{1}{2}$（aⁿ+a^-n）＜$\frac{1}{2}$（2ⁿ+2^-n），
則有b₁+b₂+b₃+…+b_2n=$\frac{1}{2}$（a+a^-1）+$\frac{1}{2}$（a²+a^-2）+$\frac{1}{2}$（a³+a^-3）+…+$\frac{1}{2}$（a²ⁿ+a^-2n）
＜$\frac{1}{2}$（2+2^-1）+$\frac{1}{2}$（2²+2^-2）+$\frac{1}{2}$（2³+2^-3）+…+$\frac{1}{2}$（2²ⁿ+2^-2n）
=$\frac{1}{2}$（2+2²+2³+…+2²ⁿ）+$\frac{1}{2}$（2^-1+2^-2+2^-3+…+2^-2n）
=$\frac{1}{2}$$•\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{-1}（1-{2}^{-2n}）}{1-{2}^{-1}}$=2²ⁿ-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）
＜2²ⁿ-$\frac{1}{2}•2\sqrt{\frac{1}{{2}^{2n}}}$=4ⁿ-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
即有對任意正整數(shù)n，都有b₁+b₂+b₃+…+b_2n＜4ⁿ-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及等比數(shù)列的求和公式和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．