11．設(shè)函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．
①若f（x）在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值；
②若f（x）在（1，3）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

分析 解①f′（x）=6（x-a）（x-1），由f（x）在x=3處取得極值，可得f′（3）=0，解得a即可得出．
②令f′（x）=6（x-a）（x-1）=0，解得x=a或1．對(duì)a分類討論：當(dāng)a≤1時(shí)；當(dāng)1＜a＜3時(shí)，；當(dāng)a≥3時(shí)．研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：①f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
∵f（x）在x=3處取得極值，
∴f′（3）=6（3-a）（3-1）=0，解得a=3．
經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)a=3時(shí)，x=3為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
②令f′（x）=6（x-a）（x-1）=0，解得x=a或1．當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）≥0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，不合題意舍去；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，當(dāng)1＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)a≥3時(shí)，f′（x）＜0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，不合題意舍去．
綜上可得：a的取值范圍是（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD且PA=1，則點(diǎn)P到直線BD的距離是$\frac{13}{5}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=2，則橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a的值為（　�。�
A．2$\sqrt{3}$B．4C．3$\sqrt{2}$D．6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．下圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象，則函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)為（　　）
A．a，x3，x6B．x2C．x3，x6D．x4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)λ=$\frac{AE}{AB}$
（1）求證：DA1⊥ED1
（2）若直線DA1與平面CED1所成角為30°，求λ的值
（3）當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)確定的位置使得平面A1DCB1與平面CED1所成二面角為60°，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知1＜a＜2，f（x）=loga（x+$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$）（x＞1），
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x）和這個(gè)反函數(shù)的定義域D；
（2）設(shè)x∈D，g（x）=$\frac{{2}^{x}+2{\;}^{-x}}{2}$，比較f-1（x）與g（x）的大小；
（3）設(shè)bn=f-1（n），求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有b1+b2+b3+…+b2n＜4n-（$\frac{1}{2}$）n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x-2}{2x-1}$（x$≠\frac{1}{2}$）．
（1）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）的值；
（2）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=f（an），求證：{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數(shù)列；
（3）求證：a1a2…an＞$\sqrt{2n+1}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．如圖，已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為直線x=-1，過點(diǎn)D（a，0）（a＞0）的動(dòng)直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）若以線段AB為直徑的圓恒過拋物線E上的某定點(diǎn)C（異于A，B兩點(diǎn)），求a的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，AD=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{{C}_{1}M}$（λ＞0），以D為原點(diǎn)，分別以邊DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)
（2）試探求直線BM與面ABC所成角為60°的λ的值．

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