Question

6．已知橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-1，0）斜率不為0的直線l過F交橢圓W于A，B，當(dāng)l⊥x軸時，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅰ）求橢圓W的方程
（Ⅱ）在x軸找一點(diǎn)P，使得∠APF=∠BPF
（Ⅲ）能否在x軸找一點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$為定值，若能找到，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不能找到，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由直線l過F交橢圓W于A，B，當(dāng)l⊥x軸時，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．可得$\frac{2^{2}}{a}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，又c=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可．
（II）設(shè)P（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線AB的方程為：my=x+1．與橢圓方程聯(lián)立化為（5+4m²）y²-8my-16=0，由∠APF=∠BPF，可得k_AP+k_BP=0，利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（Ⅲ）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)Q（s，0），使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$為定值．當(dāng)AB⊥x軸時，可得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（s+1）²-$\frac{16}{5}$．當(dāng)AB與x軸不垂直時，由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=x₁x₂-s（x₁+x₂）+s²+y₁y₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=$\frac{-（24+8s）{m}^{2}-16}{5+4{m}^{2}}$+（1+s）²，通過比較即可得出．

解答 解：（I）∵直線l過F交橢圓W于A，B，當(dāng)l⊥x軸時，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{2^{2}}{a}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，又c=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a²=5，b=2，c=1．
∴橢圓W的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）設(shè)P（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線AB的方程為：my=x+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為（5+4m²）y²-8my-16=0，
∴y₁+y₂=$\frac{8m}{5+4{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-16}{5+4{m}^{2}}$．
∵∠APF=∠BPF，
∴k_AP+k_BP=0，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
∴y₁（x₂-t）+y₂（x₁-t）=0，
∴y₁（my₂-1-t）+y₂（my₁-1-t）=0，
化為2my₁y₂-（1+t）（y₁+y₂）=0，
∴$\frac{-32m}{5+4{m}^{2}}$-$\frac{8m（1+t）}{5+4{m}^{2}}$=0，
∵m為任意實(shí)數(shù)上式都成立，
∴4+1+t=0，
解得t=-5．
∴在x軸存在一點(diǎn)P（-5，0），使得∠APF=∠BPF．
（Ⅲ）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)Q（s，0），使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$為定值．
當(dāng)AB⊥x軸時，A（-1，$\frac{4}{\sqrt{5}}$），B$（-1，-\frac{4}{\sqrt{5}}）$，
則$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（s+1）²-$\frac{16}{5}$．（*）
當(dāng)AB與x軸不垂直時，由（II）可知：x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）
=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（x₁-s，y₁）•（x₂-s，y₂）=（x₁-s）（x₂-s）+y₁y₂
=x₁x₂-s（x₁+x₂）+s²+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-（m+sm）（y₁+y₂）+（1+s）²
=$\frac{-16（{m}^{2}+1）}{5+4{m}^{2}}$-$\frac{（m+sm）•8m}{5+4{m}^{2}}$+（1+s）²
=$\frac{-（24+8s）{m}^{2}-16}{5+4{m}^{2}}$+（1+s）²，
與（*）比較可得：$\frac{-（24+8s）{m}^{2}-16}{5+4{m}^{2}}$=-$\frac{16}{5}$，
可得s=-$\frac{7}{5}$．
∴在x軸上存在一點(diǎn)Q（-$\frac{7}{5}$，0），使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=$-\frac{76}{25}$為定值．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、斜率數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、定點(diǎn)與定值問題，考查了探究問題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．