Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實數(shù).

（1）試確定函數(shù)的奇偶性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，偶函數(shù)；當(dāng)時，奇函數(shù)；當(dāng)且時，無奇偶性；（2）；（3）

【解析】

（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷的關(guān)系即可；

（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)當(dāng)時，

恒成立，求的范圍即可；

（3）令，則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點等價于方程在區(qū)間上有唯一實根或兩個相等實根，再求解即可.

解：（1）函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，，從而，

所以函數(shù)為偶函數(shù).

當(dāng)時，，從而，

所以函數(shù)為奇函數(shù).

當(dāng)且時，

因為，

所以函數(shù)不是奇函數(shù)；

因為，

所以函數(shù)不是偶函數(shù).

綜上，當(dāng)時，函數(shù)為偶函數(shù)；

當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)；

當(dāng)且時，函數(shù)無奇偶性.

（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以對任意的，當(dāng)時，

.

又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，，即，

所以，由，

故的取值范圍為.

（3）函數(shù)

，

令，則，

由函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，

知函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，

即方程在區(qū)間上有唯一的實根，

故方程在區(qū)間上有唯一實根或兩個相等實根，

當(dāng)時，有唯一實根1，不適合.

當(dāng)時，由在區(qū)間上有唯一實根或兩個相等實根，

知在區(qū)間上有唯一的零點，

當(dāng)時，得，即兩個零點為和，不適合；

當(dāng)時，不存在.

當(dāng)，即時，有唯一的零點2，不適合；

當(dāng)時，，即，適合.

綜上，的取值范圍為.