Question

13．已知函數(shù)f（x）=|lg|x-$\frac{10}{3}$||，若關(guān)于x的方程f²（x）-5f（x）-6=0的實(shí)根之和為m，則f（m）的值是1．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程求出f（x）=6，作出函數(shù)f（x）的圖象，判斷函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)性，即可求出m的值．

解答 解：由f²（x）-5f（x）-6=0得[f（x）-6][f（x）+1]=0，
即f（x）=6或f（x）=-1，
∵f（x）=|lg|x-$\frac{10}{3}$||，
∴f（x）=-1不成立，
故f（x）=6，
作出函數(shù)f（x）的圖象，
則函數(shù)f（x）關(guān)于x=$\frac{10}{3}$對(duì)稱(chēng)，
由f（x）=6，得方程有四個(gè)根，且關(guān)于x=$\frac{10}{3}$對(duì)稱(chēng)，
則兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的根之和為2×$\frac{10}{3}$=$\frac{20}{3}$，
則四個(gè)根之和為2×$\frac{20}{3}$=$\frac{40}{3}$，
即m=$\frac{40}{3}$，則f（m）=f（$\frac{40}{3}$）=|lg|$\frac{40}{3}$-$\frac{10}{3}$||=|lg10|=1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)根的應(yīng)用，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解決本題的關(guān)鍵．