【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)討論函數(shù)y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)當(dāng)b=0時(shí),判斷函數(shù)y= 在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并說明理由;
(3)設(shè)h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值為2,求a+b的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).

可得y=f(x)g(x)=a(x+b) ,

①當(dāng)b=0時(shí),f(x)g(x)=ax ,﹣1≤x≤1,

由f(﹣x)g(﹣x)=﹣ax =﹣f(x)g(x),

則函數(shù)y=f(x)g(x)為奇函數(shù);

②當(dāng)b<0時(shí),f(x)g(x)=a(x+b) ,﹣1≤x≤1,

由f(﹣ )g(﹣ )=a(﹣ +b) ,f( )g( )=a( +b) ,

可得f(﹣ )g(﹣ )≠﹣f( )g( ),且f(﹣ )g(﹣ )≠f( )g( ),

則函數(shù)y=f(x)g(x)為非奇非偶函數(shù)


(2)解:當(dāng)b=0時(shí),函數(shù)y= = 在(﹣1,1)遞增.

理由:任取x1,x2,且﹣1<x1<x2<1,

可得1+x1x2>0,(1﹣x12)(1﹣x22)>0,

則y1﹣y2= = <0,

可得y1<y2,

即函數(shù)y= = 在(﹣1,1)遞增


(3)解:h(x)=|af2(x)﹣ |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|,對(duì)稱軸為x=﹣ ≤﹣ ,

①當(dāng)﹣1≤﹣ ≤﹣ ,即 ≤a≤1時(shí),

h(1)=|1+b|,h(﹣1)=|1﹣b|=1﹣b,h(﹣ )=a+ ﹣b,

h(x)max=max{h(1),h(﹣1),h(﹣ )},

a+ ﹣b在 ≤a≤1時(shí)遞增,可得a+ ﹣b∈[1﹣b, ﹣b],

即有h(x)max=a+ ﹣b=2,

可得a+b=2a+ ﹣2在 ≤a≤1遞增,可得

a+b∈[﹣ , ];

②﹣ <﹣1,即0<a< 時(shí),

h(x)max=max{h(1),h(﹣1)}=1﹣b=2,即b=﹣1,

可得a+b=a﹣1∈(﹣1,﹣ ).

綜上可得,a+b∈(﹣1,﹣ ]


【解析】(1)求得y=f(x)g(x)=a(x+b) ,討論b=0,b<0,運(yùn)用奇偶性的定義,即可判斷;(2)當(dāng)b=0時(shí),函數(shù)y= = 在(﹣1,1)遞增.運(yùn)用單調(diào)性的定義證明,注意取值、作差和變形、定符號(hào)和下結(jié)論;(3)求出h(x)=|af2(x)﹣ |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|,對(duì)稱軸為x=﹣ ≤﹣ ,討論當(dāng)﹣1≤﹣ ≤﹣ ,即 ≤a≤1時(shí),﹣ <﹣1,即0<a< 時(shí),求出端點(diǎn)處的函數(shù)值和頂點(diǎn)處的函數(shù)值,比較可得最大值,再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)的單調(diào)性,即可得到所求范圍.

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