Question

1．已知函數(shù)$f（x）=|{{3^x}-1}|，a∈[\frac{1}{3}，1）$，若函數(shù)g（x）=f（x）-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)$h（x）=f（x）-\frac{a}{2a+1}$有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₃，x₄（x₃＜x₄）．
（1）若$a=\frac{2}{3}$，求x₁的值；
（2）求x₂-x₁+x₄-x₃的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$a=\frac{2}{3}$時(shí)，令$g（x）=|{{3^x}-1}|-\frac{2}{3}=0$，結(jié)合x(chóng)₁＜x₂，可得x₁的值；
（2）由已知可得：x₁=log₃（1-a），x₂=log₃（1+a），${x}_{3}=lo{g}_{3}（1-\frac{a}{2a+1}），{x}_{4}=lo{g}_{3}（1+\frac{a}{2a+1}）$，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x₂-x₁+x₄-x₃的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{2}{3}$時(shí)，$g（x）=|{{3^x}-1}|-\frac{2}{3}=0$，
即${3^x}=\frac{1}{3}或\frac{5}{3}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1…（4分）
（2）∵g（x）=|3^x-1|-a=0，
∴3^x=1±a，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=log₃（1-a），x₂=log₃（1+a），…（8分）
∵$h（x）=|{{3^x}-1}|-\frac{a}{2a+1}=0$，
∴${3^x}=1±\frac{a}{2a+1}$，
∵x₃＜x₄，
∴${x}_{3}=lo{g}_{3}（1-\frac{a}{2a+1}），{x}_{4}=lo{g}_{3}（1+\frac{a}{2a+1}）$…（12分），
∴${x_2}-{x_1}+{x_4}-{x_3}={log_3}\frac{{（1+a）（1+\frac{a}{2a+1}）}}{{（1-a）（1-\frac{a}{2a+1}）}}={log_3}\frac{1+3a}{1-a}={log_3}（\frac{4}{1-a}-3）$，
∵$y={log_3}（\frac{4}{1-a}-3）$在$a∈[\frac{1}{3}，1）$上單調(diào)遞增，…（14分）
所以當(dāng)$a=\frac{1}{3}$時(shí)，x₂-x₁+x₄-x₃的最小值為1．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)，指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程的解法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．