Question

14．已知{a_n}是等比數(shù)列，S_n是其前n項和，a₁，a₇，a₄成等差數(shù)列，求證：2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 通過a₁，a₇，a₄成等差數(shù)列可知q³=-$\frac{1}{2}$或q³=1，當(dāng)q³=1即q=1時顯然命題成立；當(dāng)q³=-$\frac{1}{2}$時，分別計算$\frac{{S}_{6}}{2{S}_{3}}$、$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$即可．

解答 證明：設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，
∵a₁，a₇，a₄成等差數(shù)列，
∴2a₇=a₁+a₄，即2a₁q⁶=a₁+a₁q³，
∴2q⁶=1+q³，∴（2q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-$\frac{1}{2}$或q³=1，
①當(dāng)q³=1即q=1時，命題顯然成立；
②當(dāng)q³=-$\frac{1}{2}$時，
∵S₃=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$，S₁₂=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{12}）}{1-q}$，
∴$\frac{{S}_{6}}{2{S}_{3}}$=$\frac{1-{q}^{6}}{2（1-{q}^{3}）}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}{2[1-（-\frac{1}{2}）]}$=$\frac{1}{4}$，
$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$=$\frac{{q}^{6}-{q}^{12}}{1-{q}^{6}}$=$\frac{（-\frac{1}{2}）^{2}-（-\frac{1}{2}）^{4}}{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{6}}{2{S}_{3}}$=$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$；
綜上所述，2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及判定，注意解題方法的積累，屬于中檔題．