Question

3．在平面直角坐標系中，已知A（-1，1），B（2，4），圓C：x²-2ax+y²-4y+a²+$\frac{51}{25}$=0．
（1）若a=0，求圓C截直線AB所得的弦長；
（2）若圓C與直線AB相交于P、Q兩點，且CP⊥CQ，求a的值．

Answer 1

分析 （1）若a=0可得x²+y²-4y+$\frac{51}{25}$=0，確定圓心與半徑，直線AB的方程為x-y+2=0，圓心在直線上，可得圓C截直線AB所得的弦長；
（2）通過圓C與直線AB相交于P，Q兩點，且CP⊥CQ，轉化為，圓心到直線的距離與半徑的關系，即可求a的值．

解答 解：（1）若a=0可得x²+y²-4y+$\frac{51}{25}$=0，即x²+（y-2）²=$\frac{49}{25}$，圓心為（0，2），半徑為$\frac{7}{5}$
直線AB的方程為x-y+2=0，圓心在直線上，
∴圓C截直線AB所得的弦長為$\frac{14}{5}$；
（2）圓C與直線AB相交于P，Q兩點，且CP⊥CQ，可知，圓心到直線的距離與半徑滿足r=$\sqrt{2}$d，
圓C：x²-2ax+y²-4y+a²+$\frac{51}{25}$=0，圓心（a，2），半徑為：$\frac{7}{5}$．
∴d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$，則$\sqrt{2}$×$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{5}$，
可得a=±$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查圓的一般方程與直線的綜合應用，直線與圓的位置關系，考查計算能力．