Question

2．已知數列{a_n}滿足a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N^*），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）設b_n=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，證明：{b_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若對任意正整數n（n≥2），不等式$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}_{k}}$＞$\frac{m}{24}$恒成立，求整數m的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過對等式a_n=2a_na_n+1+3a_n+1兩邊同時除以a_na_n+1、整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），進而數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以首項、公比均為3的等比數列，計算即得結論；
（2）通過（1）可知log₃b_n=n，通過記f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$并利用作差法可知f（n+1）-f（n）＞0，問題轉化為解不等式f（n）_min=f（2）＞$\frac{m}{24}$，計算即得結論．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2+3•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2+1=3，
∴數列{b_n}是以首項、公比均為3的等比數列，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$；
（2）解：由（1）可知，log₃b_n=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}_{k}}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+k}$，
∴不等式$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}_{k}}$＞$\frac{m}{24}$恒成立，
等價于：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{m}{24}$，
記f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
則f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴f（n）隨著n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（2）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
∴$\frac{7}{12}$＞$\frac{m}{24}$，即m＜14，
故整數m的最大值為13．

點評 本題考查數列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．