Question

對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），稱f（x）為“局部奇函數(shù)”，若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（　　）

• A、1-

  3

  ≤m≤1+

  3

• B、1-

  3

  ≤m≤2

  2

• C、-2

  2

  ≤m≤2

  2

• D、-2

  2

  ≤m≤1-

  3

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：新定義

分析：根據(jù)“局部奇函數(shù)”，可知函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法進行求解．

解答： 解：根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等價為t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時有解，
設(shè)g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
對稱軸x=-

-2m

2

=m，
①若m≥2，則△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，
∴-2

2

≤m≤2

2

，此時2≤m≤2

2

，
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時有解，
則

m＜2 f(2)≤0 △≥0

，
即

m＜2 1- 3 ≤m≤1+ 3 -2 3 ≤m≤2 3

，
解得1-

3

≤m＜2，
綜上：1-

3

≤m≤2

2

．
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)的新定義，利用函數(shù)的新定義得到方程有解的條件，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題去解決是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．