Question

2．當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{4}$時(shí)，$\sqrt{x}$＜log_ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 要使不等式$\sqrt{x}$＜log_ax在＜x≤$\frac{1}{4}$時(shí)恒成立等價(jià)于函數(shù)y=log_ax的圖象在（0，$\frac{1}{4}$]內(nèi)恒在函數(shù)y=$\sqrt{x}$圖象的上方，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：要使0＜x≤$\frac{1}{4}$時(shí)，$\sqrt{x}$＜log_ax恒成立，
即函數(shù)y=log_ax的圖象在（0，$\frac{1}{4}$]內(nèi)恒在函數(shù)y=$\sqrt{x}$圖象的上方，而y=$\sqrt{x}$圖象過點(diǎn)（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
由log_a$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$，知0＜a＜1，
∴函數(shù)y=log_ax遞減．
又∵log_a$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$=${{log}_{a}a}^{\frac{1}{2}}$，
${a}^{\frac{1}{2}}$$≥\frac{1}{4}$，∴a＞$\frac{1}{16}$，
∴所求的a的取值范圍是（$\frac{1}{16}，1$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．