Question

17．已知集合A={x|$（\frac{1}{2}）^{{x}^{2}-5x+4}$≥1}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}，若B⊆A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由$（\frac{1}{2}）^{{x}^{2}-5x+4}≥1$得x²-5x+4≤0，從而得到A={x|1≤a≤4}，根據(jù)B⊆A可分B=∅，B≠∅兩種情況：可設(shè)f（x）=x²-2ax+a+2，B=∅時(shí)，便有△＜0，從而可得到a的一個(gè)范圍；B≠∅時(shí)，便有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥0}\\{f（4）≥0}\\{1≤a≤4}\end{array}\right.$，這樣對(duì)求得的兩種情況下的a的范圍求并集即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}；
∵B⊆A，設(shè)f（x）=x²-2ax+a+2，則：
①若B=∅，則△=4a²-4（a+2）＜0；
解得-1＜a＜2；
②若B≠∅，則a滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a≥0}\\{f（4）=18-7a≥0}\\{1≤a≤4}\end{array}\right.$；
∴解得$1≤a≤\frac{18}{7}$；
綜上得$-1＜a≤\frac{18}{7}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，$\frac{18}{7}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查描述法表示集合，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及解一元二次不等式，子集的概念，可結(jié)合二次函數(shù)f（x）的圖象，不要漏了B=∅的情況．