Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：

①sin²13°＋cos²17°－sin13°cos17°；

②sin²15°＋cos²15°－sin15°cos15°；

③sin²18°＋cos²12°－sin18°cos12°；

④sin²(－18°)＋cos²48°－sin(－18°)cos48°；

⑤sin²(－25°)＋cos²55°－sin(－25°)cos55°.

(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解法1：(1)選擇②式，計算如下：

sin²15°＋cos²15°－sin15°cos15°

＝1－sin30°＝1－＝.

(2)三角恒等式為sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.

證明如下：

sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝sin²α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)²－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)

＝sin²α＋cos²α＋sinαcosα＋sin²α－sinαcosα－sin²α＝sin²α＋cos²α＝.

解法2：

(1)同解法1.

(2)三角恒等式為sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.

證明如下：

sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)

＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin²α

＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)

＝1－cos2α－＋cos2α

＝.