Question

20．已知拋物線C：y²=4x．直線l：y=k（x-8）與拋物線C交于A，B（A在B的下方）兩點(diǎn)，與x
軸交于點(diǎn)P．
（1）若點(diǎn)P恰為弦AB的三等分點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)k的值．
（2）過(guò)點(diǎn)P與直線l垂直的直線m與拋物線C交于點(diǎn)M，N，試求四邊形AMBN的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，求出A的坐標(biāo)，利用斜率公式，求實(shí)數(shù)k的值．
（2）直線l：y=k（x-8）與拋物線方程聯(lián)立得：k²x²-（16k²+4）x+64k²=0，由弦長(zhǎng)公式求出|AB|、|MN|，由四邊形AMBN的面積S=$\frac{1}{2}$|AB||MN|，利用基本不等式能求出四邊形AMBN面積最小值．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，
∵P（8，0），
∴（8-x₂，-y₂）=2（x₁-8，y₁），
∴8-x₂=2x₁-8，-y₂=2y₁，
∴8-x₂=2x₁-8，x₂=4x₁，
∴x₁=$\frac{8}{3}$，x₂=4x₁=$\frac{32}{3}$
∴A（$\frac{8}{3}$，-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$），
∴k=$\frac{0+\frac{4\sqrt{6}}{3}}{8-\frac{8}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，k=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，滿(mǎn)足題意；
（2）直線l：y=k（x-8）與拋物線方程聯(lián)立得：k²x²-（16k²+4）x+64k²=0，
∴x₁+x₂=16+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=64，
由弦長(zhǎng)公式|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（16+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-256}$，
同理由弦長(zhǎng)公式得|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{（16+4{k}^{2}）^{2}-256}$，
所以四邊形AMBN的面積S=$\frac{1}{2}$|AB||MN|=8$\sqrt{（65+8{k}^{2}+\frac{8}{{k}^{2}}）（2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$≥8$\sqrt{（65+16）（2+2）}$=144，
當(dāng)k=±1時(shí)，取“=”．
故四邊形AMBN面積最小值為144．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，探究實(shí)數(shù)k的值，考查四邊形面積最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．