Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+m|x+a|．
（Ⅰ）當(dāng)m=a=-1時(shí)，求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-3或a≥3}，求實(shí)數(shù)m的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將m=a=-1代入（x），通過(guò)討論x的范圍求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得到2m|a|≥2，解出a，得到關(guān)于m的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）m=a=-1時(shí)，|x+1|-|x-1|≥x，
x＜-1時(shí)，-（x+1）+（x-1）≥x，解得：x≤-2，
-1≤x≤1時(shí)，（x+1）+（x-1）≥x，解得：0≤x＜1，
x≥1時(shí)，（x+1）-（x-1）≥x，解得：1≤x≤2，
綜上，不等式的解集是{x|x≤-2或0≤x≤2}；
（Ⅱ）f（x）=|x-a|+m|x+a|=m（|x-a|+|x+a|）+（1-m）|x-a|≥2m|a|+（1-m）|x-a|≥2m|a|≥2，
解得：a≤-$\frac{1}{m}$或a≥$\frac{1}{m}$，
∵數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-3或a≥3}，
故$\frac{1}{m}$=3，解得：m=$\frac{1}{3}$，
∴實(shí)數(shù)m的集合是{m|m=$\frac{1}{3}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．